수리 통계학 베이지안 방법 요약

VII. 베이지안 방법

A. 베이지안 계산

마르코프 체인 몬테카를로(MCMC) 방법

깁스 샘플링

B. 계층적 모델

무작위 효과 모델

베이지안 혼합 모델

C. 베이지안 모델 비교

베이지안 계수

모델 의미에 대하여 요약은 다음과 같다.

 

 

베이지안 방법은 다양한 통계 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 강력한 기법입니다. 이러한 방법은 새로운 데이터를 기반으로 신념을 업데이트하는 프레임워크를 제공하는 베이지안 확률 이론을 기반으로 합니다. 베이지안 방법은 예측을 하고, 매개변수를 추정하고, 모델 선택을 수행하는 데 사용할 수 있습니다. 이 블로그 게시물에서는 베이지안 방법의 세 가지 중요한 주제에 대해 설명합니다: 베이지안 계산, 계층적 모델, 베이지안 모델 비교입니다.

A. 베이지안 계산

베이지안 계산은 관찰된 데이터가 주어졌을 때 매개변수의 사후 분포를 계산하는 프로세스를 말합니다. 많은 경우, 사후 분포는 분석적으로 계산하기 어렵거나 불가능하기 때문에 계산 방법을 사용하여 사후 분포를 근사화해야 합니다. 베이지안 계산에 널리 사용되는 두 가지 방법은 마르코프 체인 몬테카를로(MCMC)와 깁스 샘플링입니다.

MCMC는 목표 분포에서 샘플을 생성하는 일반적인 방법으로, 베이지안 분석에서는 매개 변수의 사후 분포입니다. MCMC의 기본 개념은 고정 분포가 관심 있는 사후 분포인 마르코프 체인을 구성하는 것입니다. 그런 다음 컴퓨터를 사용하여 이 체인을 시뮬레이션하고 결과 샘플을 사용하여 평균 또는 사분위수와 같은 사후 분포의 다양한 속성을 추정할 수 있습니다. MCMC에 가장 일반적으로 사용되는 알고리즘은 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘으로, 제안 분포에서 샘플을 생성한 다음 특정 수락 확률에 따라 제안을 수락하거나 거부합니다.

깁스 샘플링은 베이지안 계층 모델에서 자주 사용되는 MCMC의 특수한 경우입니다. 깁스 샘플링에서는 다른 매개변수와 데이터가 주어졌을 때 매개변수의 조건부 분포에서 샘플을 생성합니다. 깁스 샘플링의 장점은 조건부 분포만 지정하면 된다는 것인데, 이는 모든 매개변수의 합동 분포보다 계산하기 쉬운 경우가 많습니다.

B. 계층적 모델

계층적 모델은 그룹 또는 수준에 따라 매개변수가 달라지는 모델입니다. 예를 들어 계층적 모델에는 개인, 주 또는 국가에 따라 달라지는 매개변수가 있을 수 있습니다. 계층적 모델은 여러 그룹 간의 변동성을 설명하고 보다 정확한 매개변수 추정치를 제공할 수 있기 때문에 역학, 교육, 경제학 등 여러 분야에서 중요합니다.

무작위 효과 모델은 많은 분야에서 일반적으로 사용되는 계층적 모델의 한 유형입니다. 무작위 효과 모델에서는 매개변수가 데이터에서 추정된 평균과 분산이 있는 정규 분포를 갖는다고 가정합니다. 무작위 효과 모델은 모든 그룹에 동일한 매개변수가 있다고 가정하는 완전 풀링 모델과 각 그룹에 대해 별도의 매개변수를 추정하는 무풀링 모델 사이의 절충안으로 생각할 수 있습니다.

베이지안 혼합 모델은 비지도 학습 및 클러스터링에 일반적으로 사용되는 계층적 모델의 또 다른 유형입니다. 베이지안 혼합 모델에서는 데이터가 각각 고유한 매개 변수를 가진 여러 구성 요소 분포의 혼합에서 나온다고 가정합니다. 구성 요소 분포는 보통 정규 분포 또는 지수 분포로 가정하지만, 다른 분포도 사용할 수 있습니다. 베이지안 접근법을 사용하면 데이터에서 구성 요소의 수와 각 구성 요소의 매개변수를 추정할 수 있습니다.

C. 베이지안 모델 비교

베이지안 모델을 비교하는 것은 다양한 모델을 평가하고 데이터에 가장 적합한 모델을 선택할 수 있기 때문에 베이지안 분석에서 매우 중요한 부분입니다. 베이지안 모델을 비교하는 데 일반적으로 사용되는 두 가지 방법은 베이지안 계수와 모델 수단입니다.

베이지안 계수는 데이터를 기반으로 두 모델에 대한 상대적 지지도를 측정하는 척도입니다. 베이지안 계수는 두 모델의 한계 가능성의 비율로 정의되며, 이는 매개 변수의 이전 분포에 통합된 가능성입니다. 베이지안 계수는 다른 모델에 비해 한 모델에 대한 증거의 정량적 척도를 제공하며, 값이 클수록 한 모델에 대한 지지가 더 강하다는 것을 나타냅니다.

모델 평균은 모델 매개변수의 사후 분포를 요약하는 방법입니다. 모델 평균은 매개변수를 후분포에 포함할 수 있습니다. 모델이란 서로 다른 모델의 매개 변수를 비교하고 데이터를 설명하는 데 가장 중요한 매개 변수를 식별할 수 있는 방법을 제공하는 것을 의미합니다.

 

결론적으로 베이지안 방법은 다양한 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 강력한 통계 분석 도구 세트입니다. 베이지안 계산, 계층적 모델 및 모델 비교는 베이지안 분석에서 이러한 방법을 이해하고 사용하는 데 필수적인 세 가지 중요한 주제입니다. MCMC와 깁스 샘플링은 베이지안 계산에 일반적으로 사용되는 두 가지 방법이며, 무작위 효과 모델과 베이지안 혼합 모델은 계층적 모델에 일반적으로 사용되는 두 가지 유형입니다. 베이지안 계수와 모델 평균은 베이지안 모델을 비교하는 데 일반적으로 사용되는 두 가지 방법입니다. 이러한 개념을 숙지함으로써 연구자는 강력한 통계 분석을 수행하고 데이터로부터 정확한 결론을 도출할 수 있습니다.